Kuantum istatistik fiziği · enine alanlı Ising ve S = 1/2 XXZ modelleri

Kuantum Monte Carlo Laboratuvarı

Kuantum bölüşüm fonksiyonu \(Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}\) sanal zaman doğrultusunda açıldığında, \(d\) boyutlu kuantum sistemi \(d+1\) boyutlu klasik bir sisteme dönüşür: her spin sanal zamanda bir dünya çizgisi çizer. Ağırlıklar pozitifse bu çizgiler klasik Monte Carlo ile örneklenebilir. Bu sayfada iki yöntemi ve iki model ailesini kullanarak kuantum faz geçişlerini sonlu boyut ölçeklemesiyle bulabilir, sonuçları kesin çözümlerle karşılaştırabilir ve frustre bir sistemde yöntemin neden çöktüğünü (işaret problemi) görebilirsiniz.

\[ H_{\rm TFIM}=-J\sum_{\langle ij\rangle}\sigma^z_i\sigma^z_j-\Gamma\sum_i\sigma^x_i \] \[ \begin{aligned} H_{\rm XXZ}=&\sum_{\langle ij\rangle}J_{ij}\Big[\Delta\,S^z_iS^z_j+\tfrac12\big(S^+_iS^-_j+S^-_iS^+_j\big)\Big]\\ &-h\sum_iS^z_i \end{aligned} \]

TFIM'de \(\sigma\) Pauli matrisleridir, \(J=1\). XXZ'de \(S=1/2\); \(J>0\) antiferromanyet, \(J<0\) ferromanyet; \(\Delta=1\) Heisenberg modelidir. Çift katmanda katman içi bağ \(J\), katmanlar arası bağ \(J_\perp=gJ\) · \(\hbar=k_B=1\), enerji ve sıcaklık \(|J|\) biriminde · periyodik sınır.

SimülasyonKuantum Monte Carlo Laboratuvarı
Örnekler ve korelasyonlar
Şekil 1. Seri: son 400 süpürmedeki örnekler. Histogram: TFIM'de sanal zaman ortalamalı mıknatıslanmanın dağılımı \(P(m)\) (düzenli fazda çift tepe); SSE'de açılım derecesi dağılımı \(P(n)\), ortalaması \(\langle n\rangle=\beta\,|E-E_C|\) ile enerjiyi verir. G(τ) (TFIM): sanal zaman korelasyonu \(G(\tau)=\langle M^z(0)M^z(\tau)\rangle/N\), logaritmik eksende; düzensiz fazda \(\cosh[\Delta(\tau-\beta/2)]\) gibi davranır ve eğimi enerji aralığını \(\Delta\) verir. C(r) (SSE): eşzaman korelasyonu \(\langle S^z_0S^z_r\rangle\); AFM'de \((-1)^r\) ile çarpılarak çizilir.
Tarama
Şekil 2. Noktalar kaydedilmiş taramalardır (renk = tarama). Siyah halka o anki koşunun ölçümüdür. Camgöbeği çizgi kesin sonuçtur: TFIM zincirinde serbest fermiyon çözümü (aynı \(L\) ve \(\beta\) için), \(\Delta=0\) zincirinde serbest fermiyon, küçük sistemlerde (\(N\le12\)) tam köşegenleştirme. Dikey kesikli çizgi literatürdeki kuantum kritik noktadır, yatay kesikli çizgi \(L\to\infty,\ T=0\) değeridir. Kuantum kritik noktayı bulmak için \(\beta\propto L\) seçerek birkaç \(L\) ile tarama yapın ve \(U\) ya da \(\rho_sL\) eğrilerinin kesişimine bakın.

Tarama

Her noktada ölçümün %25'i kadar termalleşme süpürmesi atılır.
Görselleştirme

Dünya çizgileri nasıl okunur

Eksenler

Yatay eksen örgü siteleri, dikey eksen sanal zaman \(\tau\in[0,\beta)\)'dır. Sanal zaman periyodiktir: \(\tau=\beta\) ile \(\tau=0\) aynı noktadır, çünkü \(Z\) bir izdir. 2D örgülerde yalnızca seçilen \(y\) satırı çizilir; çift katmanda aynı \(x\)'teki iki katmanın sitesi yan yana durur ve dimerler doğrudan görülür.

Çizgiler ve olaylar

kalın camgöbeği: \(\uparrow\) spin (\(\sigma^z=+1\) ya da \(S^z=+\tfrac12\)); ince çizgi: \(\downarrow\) spin. turuncu yatay bağ (SSE): \(S^+_iS^-_j\) değiş-tokuşu, yani \(\uparrow\) spinin komşuya "atlaması". Çift katmanda katmanlar arası (dimer) atlamalar mor çizilir. Satır dışına giden atlamalar sitedeki küçük turuncu üçgenle gösterilir. Gri kısa çizgiler köşegen operatörlerdir.

TFIM'de \(\sigma^x\) bir spini tek başına çevirir: dünya çizgisi o anda kesilir (turuncu çentik). Bu "kink"lerin yoğunluğu \(\Gamma\langle\sigma^x\rangle\) ile orantılıdır.

Yönlü döngü

SSE'de "son döngüyü çiz" seçiliyse son güncellemede kurulan döngü kalın turuncu yolla gösterilir. Döngü bacakları boyunca ilerler, operatörlerde yön değiştirir ve başladığı noktaya döndüğünde kapanır. Yol üzerindeki bütün spinler çevrilir; köşegen ve köşegen dışı operatörler birbirine dönüşebilir.

Dikkat!

Ekrandaki konfigürasyon fiziksel bir anlık görüntü ya da gerçek zamanlı bir yörünge değildir. Path integral'deki terimlerden biridir ve yalnızca istatistik ağırlığı vardır. Gözlenebilirler pek çok konfigürasyonun ortalamasıyla tanımlıdır. Sanal zaman dinamiği de yoktur: Markov zinciri adımları fiziksel zamana karşılık gelmez.

Komutlar ve klavye kısayolları

Görselin hemen altındaki çubuk simülasyonu yönetir: oynat/duraklat, sıfırla, ölçümü sıfırla ve hız. Tarama kontrolleri şekillerin altındaki karttadır; sağ paneldeki "Simüle kuantum tavlama" ve "Sayısal" grupları başlıklarına tıklanınca açılır.

Klavye: Boşluk oynat/duraklat · R sıfırla · M ölçümü sıfırla · +/− hız · T taramayı başlat/iptal · L son döngüyü çiz · F tam sayfa · Esc çıkış. Bir sayı kutusu ya da liste odaktayken kısayollar çalışmaz.

Yöntem I

Kuantumdan klasiğe: sanal zamanda path integral

1 · Trotter ayrıştırması

\(d\) boyuttan \(d+1\) boyuta

\(H=H_z+H_x\) iki komütatif olmayan parçaya ayrılır ve \(\beta\) aralığı \(M\) dilime bölünür (\(\Delta\tau=\beta/M\)):

\[ Z=\mathrm{Tr}\big(e^{-\Delta\tau H_z}e^{-\Delta\tau H_x}\big)^M+O(\Delta\tau^2). \]

Her dilim arasına \(\sigma^z\) özdurumları yerleştirilir. Sonuç, uzay ve sanal zaman yönlerinde farklı bağları olan klasik bir Ising modelidir.

Bu yöntem pozitif ağırlık gerektirir: köşegen dışı matris elemanlarının işareti uygunsa çalışır (Ising alanı, FM ya da iki alt örgülü AFM değiş-tokuşu).

2 · TFIM eşlemesi

Anizotrop klasik Ising

\(\langle s|e^{\Delta\tau\Gamma\sigma^x}|s'\rangle\propto e^{K_\tau ss'}\) özdeşliğinden

\[ \begin{gathered} K_x=\Delta\tau J,\\ K_\tau=-\tfrac12\ln\tanh(\Delta\tau\,\Gamma). \end{gathered} \]

\(\Gamma\) küçükse \(K_\tau\) büyüktür: spinler sanal zamanda uzun süre aynı kalır. \(\Gamma\) büyüdükçe sanal zamanda domen duvarları (kinkler) çoğalır; kuantum dalgalanmalar klasik modelde termal domen duvarları gibi görünür.

\(\langle\sigma^x\rangle\) bir τ-bağı tahmincisiyle ölçülür: paralel bağ \(\tanh(\Delta\tau\Gamma)\), antiparalel bağ \(\coth(\Delta\tau\Gamma)\) katkı verir.

3 · Sürekli zaman

Trotter hatasından kurtulmak

Ayrık yöntemdeki sistematik hata \(\propto\Delta\tau^2\)'dir; aynı fiziksel sistem için \(\Delta\tau\to0\) ekstrapolasyonu gerekir. \(\Delta\tau\to0\) limiti doğrudan alınabilir: kinkler sürekli zamanda Poisson süreciyle yerleşir. Küme güncellemesinde her sitenin çizgisi kink ve rastgele kesimlerle (yoğunluk \(\Gamma\)) segmentlere bölünür, paralel komşu segmentler örtüşme süresi \(\ell\) için \(1-e^{-2J\ell}\) olasılıkla bağlanır.

Ayrık modda Δτ'yi değiştirip enerjinin \(\Delta\tau^2\) ile sürekli zaman değerine yaklaştığını gözleyin. Metropolis'i seçerek \(K_\tau\) büyükken tek spin çevirmenin neden donduğunu da görebilirsiniz.

Kuantum faz geçişi

\(T=0\)'da dalgalanmaların düzeni yok etmesi

1 · İki faz

Düzenli ferromanyet ve kuantum paramanyet

\(\Gamma\ll J\) iken taban durumu \(\langle\sigma^z\rangle\ne0\) ile düzenlidir; \(\Gamma\gg J\) iken spinler \(\hat x\) yönüne dizilir ve \(\langle\sigma^z\rangle=0\)'dır. Aradaki geçiş sıcaklıkla değil, Hamiltoniyendeki bir parametreyle sürülür:

\[ \begin{gathered} \Gamma_c=J\ \ (\text{1D, kesin}),\\ \Gamma_c\simeq3.0444\,J\ \ (\text{2D kare}). \end{gathered} \]

1D TFIM, Jordan–Wigner dönüşümüyle serbest fermiyonlara indirgenir (Pfeuty, 1970): \(\varepsilon_k=2\sqrt{J^2+\Gamma^2-2J\Gamma\cos k}\), aralık \(\Delta=2|\Gamma-J|\). Sayfadaki kesin eğriler bu çözümün sonlu \(L\) ve sonlu \(\beta\) için tam halidir.

2 · Dinamik üs

Neden \(\beta\propto L\)?

Kritik noktada korelasyon uzunluğu ve korelasyon süresi \(\xi_\tau\sim\xi^z\) ilişkisiyle birlikte ıraksar. TFIM ve çift katman için \(z=1\): sanal zaman başka bir uzay boyutu gibi davranır. Sonlu boyut ölçeklemesinde en-boy oranı sabit tutulmalıdır:

\[ \begin{gathered} \beta=c\,L,\\ U(g,L)=f\big((g-g_c)L^{1/\nu}\big). \end{gathered} \]

Sabit \(\beta\) ile \(L\) büyütülürse sistem sonunda sonlu sıcaklık rejimine girer ve kesişim bozulur. \(d\) boyutlu kuantum geçişi \(d+z\) boyutlu klasik geçişin evrensellik sınıfındadır: 1D TFIM ↔ 2D Ising (\(\nu=1\)), 2D TFIM ↔ 3D Ising, çift katman ↔ 3D klasik Heisenberg.

3 · Aralık

Sanal zaman korelasyonundan enerji aralığı

Spektral ayrıştırmayla

\[ \begin{aligned} G(\tau)\simeq&\ \frac1N\sum_n|\langle n|M^z|0\rangle|^2\\ &\times\big(e^{-\Delta_n\tau}+e^{-\Delta_n(\beta-\tau)}\big). \end{aligned} \]

Düzensiz fazda en küçük \(\Delta_n\) baskındır ve \(\ln G\) doğrusal düşer. Kritik noktaya yaklaşırken \(\Delta\sim|g-g_c|^{z\nu}\) kapanır; sonlu sistemde \(\Delta\sim L^{-z}\).

Sanal zaman verisinden gerçek zaman dinamiğine (\(S(k,\omega)\)) geçmek için analitik devam gerekir. Bu sayısal olarak kötü koşullu bir problemdir ve bu sayfada yapılmaz. Burada yalnızca en düşük aralık okunur.

Yöntem II

Stokastik seri açılımı ve yönlü döngüler

1 · Açılım

Operatör dizileri

\(H=-\sum_bH_b\) bağ operatörlerine ayrılır ve üstel Taylor serisine açılır:

\[ Z=\sum_\alpha\sum_{n}\frac{\beta^n}{n!}\sum_{S_n}\Big\langle\alpha\Big|\prod_{p=1}^{n}H_{b_p}\Big|\alpha\Big\rangle. \]

Her terim bir operatör dizisidir ve sabit bir \(M\) uzunluğuna boş operatörlerle tamamlanır. Ağırlıklar pozitifse (iki alt örgülü AFM'de alt örgü dönmesiyle, FM'de doğrudan) diziler örneklenebilir. Trotter hatası yoktur.

Köşegen operatörlere sabit \(C\) eklenir ki tüm ağırlıklar pozitif olsun; enerji bu sabit kadar kaydırılır.

2 · Güncellemeler

Köşegen güncelleme ve döngüler

Köşegen güncelleme boş yerlere köşegen operatör ekler ya da çıkarır (\(n\) değişir). Döngü güncellemesi operatörleri birbirine bağlayan bacaklardan oluşan bağlantı listesinde bir "baş" gezdirir. Çıkış bacağı ayrıntılı dengeyi sağlayan olasılıklarla seçilir ve yol üzerindeki spinler çevrilir.

Buradaki olasılıklar her denklem kümesi için geri sekmeyi en aza indiren simetrik çözümdür (Syljuåsen–Sandvik). \(\Delta=1\), \(h=0\)'da neredeyse hiç geri sekme yoktur; alan ve anizotropi geri sekmeyi artırır.

3 · Tahminciler

Dizi istatistiğinden fizik

\[ \begin{gathered} E=-\frac{\langle n\rangle}{\beta},\\ C=\langle n^2\rangle-\langle n\rangle^2-\langle n\rangle,\\ \rho_s=\frac{\langle W_x^2+W_y^2\rangle}{2\beta}. \end{gathered} \]

\(W\) sarma sayısıdır: \(\uparrow\) spinlerin sanal zamanda örgü etrafında net kaç kez dolandığı. Spin sertliği \(\rho_s\) düzenli fazda sonludur, kuantum paramanyette sıfıra gider. \(z=1\) kritik noktasında \(\rho_sL\) boyutsuzdur ve farklı \(L\) eğrileri kesişir.

Alt örgü mıknatıslanması bütün yayılım durumları üzerinden ortalanır. İzotropik durumda \(m_s^2=3\langle(m_s^z)^2\rangle\) ve \(U=\tfrac52\big(1-\langle m^4\rangle/3\langle m^2\rangle^2\big)\) kullanılır; düzenli fazda \(U\to1\), düzensiz fazda \(U\to0\).

Heisenberg antiferromanyetleri

Zincir, kare örgü ve çift katman

1 · Zincir

Düzen yok, kritik taban durumu

\(S=1/2\) Heisenberg zincirinin taban durum enerjisi Bethe ansatz ile kesindir:

\[ e_0=\tfrac14-\ln2\simeq-0.4431. \]

Uzun-menzil düzen \(T=0\)'da bile yoktur; korelasyonlar \((-1)^r/r\) gibi (logaritmik düzeltmelerle) azalır. Uyarılar spinonlardır. \(\Delta>1\)'de Néel düzeni ve aralık oluşur, \(\Delta=1\) bir BKT tipi geçiş noktasıdır.

\(\Delta=0\) (XX zinciri) serbest fermiyonlara eşdeğerdir; sayfa bu durumda herhangi bir \(L\) için kesin eğriyi çizer.

2 · Kare örgü

Néel düzeni ve spin dalgaları

2D'de \(T=0\)'da düzen vardır. QMC sonuçları (\(L\to\infty\)):

\[ \begin{gathered} m_s\simeq0.3074,\qquad e_0\simeq-0.6694,\\ \rho_s\simeq0.1808. \end{gathered} \]

Lineer spin dalgası teorisi \(m_s\simeq0.303\) verir (spin dalgası laboratuvarına bakın): sıfır-nokta dalgalanmaları düzeni yaklaşık %40 azaltır. \(T>0\)'da Mermin–Wagner gereği düzen yoktur ama \(\xi\propto e^{2\pi\rho_s/T}\) çok hızlı büyür.

3 · Çift katman

Néel'den dimer singletlerine

\(g=J_\perp/J\) büyüdükçe her iki katmanın aynı \((x,y)\)'deki spinleri singlet oluşturur ve taban durumu aralıklı bir kuantum paramanyete dönüşür. Geçiş noktası

\[ \begin{gathered} g_c=2.5220,\\ \nu\simeq0.711\ \ (\text{3D O(3)}). \end{gathered} \]

Dünya çizgisi görünümünde \(g\) büyüdükçe katmanlar arası atlamaların (yan yana iki sütun arası) baskın hale geldiğini görürsünüz. \(\rho_sL\) ve \(U\) eğrilerinin kesişimi \(g_c\)'yi verir; küçük \(L\)'de düzeltmeler kesişimi biraz kaydırır.

Sınır

İşaret problemi

1 · Negatif ağırlıklar

Frustrasyon pozitifliği bozar

AFM değiş-tokuşta \(S^+_iS^-_j\) teriminin matris elemanı \(-H\) için negatiftir. İki alt örgülü örgüde her kapalı dünya çizgisi konfigürasyonunda bu tür operatör sayısı çifttir, işaret hep \(+1\)'dir. Üçgen örgüde tek sayıda atlama içeren döngüler mümkündür ve konfigürasyon ağırlığı negatif olabilir.

Ferromanyetik değiş-tokuşta (\(J<0\)) üçgen örgüde de işaret problemi yoktur. Bunu "FM" seçerek doğrulayabilirsiniz.

2 · Üstel çöküş

Ortalama işaret

Mutlak ağırlıklar örneklenir ve işaret gözlenebilire katılır:

\[ \begin{gathered} \langle O\rangle=\frac{\langle O\,s\rangle_{|w|}}{\langle s\rangle_{|w|}},\\ \langle s\rangle=\frac{Z}{Z_{|w|}}=e^{-\beta N\Delta f}. \end{gathered} \]

Göreli hata \(\sim e^{\beta N\Delta f}/\sqrt{M}\) ile büyür: sıcaklığı yarıya indirmek ya da sistemi iki katına çıkarmak gereken örnek sayısını üstel olarak artırır.

Panel bu yüzden küçük bir örgüyle (\(L=3\), 9 site) başlar ve sonuçları tam köşegenleştirmeyle karşılaştırır. \(L=6\)'da \(\langle s\rangle\) \(T\simeq1\)'de bile sıfırdan ayırt edilemez.

3 · Temele bağlılık

Çözümsüz mü?

İşaret problemi bir temel seçimi sorunudur: iki alt örgülü örgüde alt örgü dönmesi onu tümüyle yok eder; Hamiltoniyenin özdurum temelinde hiç yoktur. Ancak genel durumda işaret problemini ortadan kaldıran bir temeli polinom sürede bulmak NP-zor bir problem kadar zordur (Troyer–Wiese, 2005).

Frustre kuantum mıknatıslar, katkılı Hubbard modeli ve gerçek zaman dinamiği bu yüzden QMC'nin dışında kalır. Varyasyonel yöntemler, tensör ağları ve tam köşegenleştirme bu boşluğu kısmen doldurur.

Eleştirel notlar

Sınırlar ve dikkat edilecekler

Hesap sınırları

Simülasyon tümüyle tarayıcıda, sıradan bir dizüstü bilgisayarda çalışacak şekilde ayarlanmıştır. Bu yüzden boyutlar küçüktür: TFIM zincirinde \(L\le128\), 2D'de \(L\le16\); SSE'de zincir \(L\le128\), kare ve çift katmanda \(L\le16\) ve \(12\). \(\beta\) büyüdükçe operatör sayısı \(\propto\beta N\) artar; \(\beta=2L\) ile 2D'de bir süpürme birkaç milisaniye sürer.

Bir kesişim analizi (3 boyut × 12 nokta × 2000 süpürme) tipik bir dizüstünde birkaç dakika sürer; tarama ayrı bir iş parçacığında çalıştığı için sayfa kullanılmaya devam edilebilir. Telefonda süreler birkaç katına çıkar. Tam köşegenleştirme referansı (\(N=12\)) ilk istekte birkaç saniye alır.

Doğrulama

Motor geliştirme sırasında şu kesin sonuçlarla istatistik hata içinde karşılaştırılmıştır: TFIM zinciri (serbest fermiyon, parite izdüşümlü sonlu \(L\) çözümü), XXZ zinciri ve üçgen örgü (tam köşegenleştirme: \(e\), \(C\), \(\chi\), \(m_z\)), XX zinciri (serbest fermiyon). Sayfadaki kesin eğriler aynı fonksiyonlardır; öğrenciler kendi koşularını onlarla karşılaştırabilir.

Simüle kuantum tavlama

Tavlama düğmesi \(\Gamma\)'yı Monte Carlo süpürmeleri boyunca düşürür. Bu, kuantum tavlayıcının gerçek zamanlı (Schrödinger) dinamiği değildir: Markov zincirinin dinamiğidir. Kalan domen duvarı yoğunluğunun tavlama hızına bağlılığı bu yüzden Kibble–Zurek üssünü değil, MC dinamiğinin üssünü yansıtır. Yöntem optimizasyon sezgisi için kullanılabilir, kuantum hızlanma kanıtı olarak kullanılamaz.

Sonlu sıcaklık ve sonlu boyut

"Taban durumu" sonuçları için \(\beta\) en küçük aralığın tersinden çok büyük olmalıdır. Sonlu \(L\)'de aralık \(\sim v/L\) olduğundan \(\beta\gg L\) gerekir. \(L\to\infty\) değerleri (kesikli yatay çizgiler) ekstrapolasyonla elde edilmiştir; tek bir küçük \(L\) onları ancak yaklaşık verir.

Spin dalgası laboratuvarıyla bağlantı

Ferromanyette tek-magnon durumu kesin özdurumdur. Bu yüzden klasik spin dalgası dağılımı kuantumla örtüşür. Antiferromanyette Néel durumu özdurum değildir: kare örgüde sıfır-nokta dalgalanmaları \(m_s\)'yi \(1/2\)'den \(0.307\)'ye indirir, zincirde düzeni tümüyle yok eder. Bu sayfadaki QMC sonuçları spin dalgası laboratuvarındaki lineer teorinin bu iki öngörüsünü test eder.

Kapsam dışında kalanlar

\(S>1/2\) (ör. Haldane aralığı), uzun menzilli etkileşimler, düzensizlik, fermiyon modelleri (determinant QMC), değerlik bağı projektör QMC ve varyasyonel MC bu sürümde yoktur. Gerçek zaman ya da frekans uzayında dinamik büyüklükler için analitik devam gerekir.

Kapsam

Modeller ve referans değerler

ModelReferansGörülecek fizik
TFIM zinciri\(\Gamma_c=J\), \(\Delta=2|\Gamma-J|\) (kesin)Kuantum faz geçişi, 2D Ising sınıfı, serbest fermiyon çözümü, Trotter hatası
TFIM kare örgü\(\Gamma_c\simeq3.0444\,J\)3D Ising sınıfı, \(\beta\propto L\) ile Binder kesişimi
Heisenberg zinciri\(e_0=\tfrac14-\ln2\) (Bethe ansatz)Kritik taban durumu, düzen yok; \(\Delta=0\)'da serbest fermiyon
Heisenberg kare örgü\(m_s\simeq0.3074\), \(\rho_s\simeq0.1808\)Néel düzeni, lineer spin dalgası ile karşılaştırma
Çift katman Heisenberg\(g_c\simeq2.5220\)Néel → dimer singlet, 3D O(3) sınıfı, \(\rho_sL\) kesişimi
Üçgen örgü AFMtam köşegenleştirme (\(L=3\))İşaret problemi, \(\langle s\rangle\sim e^{-\beta N\Delta f}\)