Klasik istatistik fiziği · Ising, XY, Heisenberg ve Potts modelleri

Klasik Monte Carlo Laboratuvarı

Termal dengedeki bir spin sisteminin ortalamaları \(Z=\sum e^{-\beta H}\) toplamıyla tanımlıdır, ancak bu toplam \(N\) spinde üstel sayıda terim içerir. Monte Carlo yöntemi toplamı hesaplamak yerine konfigürasyonları Boltzmann ağırlığıyla örnekler: bir Markov zinciri kurulur, zincirin durağan dağılımı \(e^{-\beta H}/Z\) olur ve gözlenebilirler örnek ortalamasıyla kestirilir. Bu sayfada aynı modeli farklı algoritmalarla çözebilir, örneklerin ilişkisini ve hatasını ölçebilir, faz geçişlerini sonlu boyut ölçeklemesiyle bulabilirsiniz.

\[ \begin{aligned} H=&-J\sum_{\langle ij\rangle}\big(S^x_iS^x_j+S^y_iS^y_j+\lambda S^z_iS^z_j\big)\\ &-h\sum_i S^{\parallel}_i-K\sum_i\big(S^z_i\big)^2 \end{aligned} \] \[ H_{\rm Potts}=-J\sum_{\langle ij\rangle}\delta_{\sigma_i\sigma_j}-h\sum_i\delta_{\sigma_i,0} \]

\(\sigma_i\in\{0,\dots,q-1\}\) · \(J=+1\) ferromanyet (FM), \(J=-1\) antiferromanyet (AFM) · Ising: \(S_i=\pm1\) (\(n=1\)); XY: düzlemde birim vektör (\(n=2\)); Heisenberg: birim vektör (\(n=3\)) · \(\lambda\) ve \(K\) yalnız Heisenberg'de · alan Ising'de \(S\), XY'de \(\hat x\), Heisenberg'de \(\hat z\) yönündedir · \(k_B=1\), sıcaklık \(J\) biriminde · tüm örgülerde periyodik sınır.

SimülasyonKlasik Monte Carlo Laboratuvarı
2D kare · Ising · Metropolis
süpürme0 örnek0 e– ⟨|m|⟩– χ– C– U– kusur– kabul– τint |m| · e– bağımsız örnek/s– süpürme/s–
Örnekler
Şekil 1. Her süpürmeden sonra alınan örnekler. Seri: son 400 süpürmedeki düzen parametresi ya da enerji; kesikli çizgi o ana dek biriken ortalama. \(n=1\) modellerde işaretli \(m\) çizilir: \(T_c\) altında küçük sistem \(+m\) ile \(-m\) arasında tünel yapar. Histogram: tüm ölçüm boyunca \(P(m)\) ya da \(P(e)\); \(T_c\) altında çift tepe, birinci derece geçişte \(P(e)\)'de çift tepe görülür. Otokorelasyon: \(\rho(t)=\langle\delta O_0\,\delta O_t\rangle/\langle\delta O^2\rangle\) ve buradan \(\tau_{\rm int}=\tfrac12+\sum_{t\ge1}\rho(t)\) (Sokal penceresi, \(W\ge6\tau_{\rm int}\)).
Sıcaklık taraması
Şekil 2. Noktalar kaydedilmiş taramalardır (renk = tarama, hata çubukları ikili bloklama ve jackknife). Siyah halka o anki koşunun ölçümü, kesikli eğri bu koşudan histogram yeniden ağırlıklandırmayla elde edilen tahmindir; yalnızca etkin örnek sayısının yettiği aralıkta çizilir. İnce camgöbeği çizgi kesin sonuçtur (2D kare Ising için Onsager, 1D modeller için transfer matrisi), dikey kesikli çizgi literatürdeki \(T_c\)'dir. XY modelinde \(\Upsilon\) grafiğindeki eğik çizgi BKT sıçrama koşulu \(\Upsilon=2T/\pi\)'dir.

Sıcaklık taraması

Sonuçlar Şekil 2'de. Her noktada önce ölçümün %20'si kadar termalleşme atılır; tarama yüksek T'den başlar ve önceki noktanın durumundan devam eder. Ayrı iş parçacığında çalışır, simülasyon sürerken kullanılabilir.
Görselleştirme

Renkler nasıl okunur

Ising ve Potts

Ising'de koyu kare \(S=+1\), açık kare \(S=-1\)'dir. Potts'ta her durumun kendi rengi vardır; renk çarkı \(q\) eşit parçaya bölünür. Domen duvarları renk sınırlarıdır; \(T_c\) yakınında her ölçekte domen görülür.

AFM'de "düzeni göster" açıkken her spin alt örgü işaretiyle (\((-1)^{x+y+z}\)) çarpılarak çizilir: Néel düzeni tek renk, alt örgü domenleri ise ayrı renkler olarak görünür. Kapatırsanız ham dama tahtası deseni görünür.

XY ve Heisenberg

Renk tonu spinin düzlemdeki açısıdır: \(\hat x\) kırmızı, \(\hat y\) sarı-yeşil, \(-\hat x\) camgöbeği, \(-\hat y\) mor-mavi. Spin dalgası laboratuvarındaki çarkla aynıdır.

Heisenberg'de parlaklık \(S^z\)'yi gösterir: \(S^z=+1\) beyaza, \(S^z=-1\) siyaha gider; düzlemdeki spinler tam renklidir. Kolay eksenli düzende (\(K>0\) ya da \(\lambda>1\)) görüntü bu yüzden siyah-beyaz Ising'e benzer.

1D zincirde uzay-zaman

1D'de yatay eksen site, dikey eksen MC zamanıdır (her satır bir süpürme, en yeni satır altta). Domen duvarlarının MC zamanında yayılması ve yok olması doğrudan görülür; korelasyon uzunluğu \(\xi\) domenlerin tipik genişliğidir.

Bu, fiziksel bir zaman evrimi değildir: Markov zincirinin adımlarıdır. Metropolis'te domen duvarları rastgele yürüyüşle gezer; küme algoritmalarında desen bir süpürmede tümüyle değişebilir.

Kümeler ve girdaplar

Wolff seçiliyken son çevrilen küme turuncuya boyanır. SW seçiliyken ilgili kutu işaretlenirse spinler yerine her küme rastgele bir renkle gösterilir. Kümeler Fortuin–Kasteleyn kümeleridir; boyutları \(T_c\)'de her ölçeğe yayılır.

2D XY modelinde turuncu dolu daire \(+1\), camgöbeği halka \(-1\) sarmalı girdaptır (plaket etrafındaki açı farklarının toplamı \(\pm2\pi\)). \(T_{\rm BKT}\) altında girdaplar bağlı çiftlerdir, üstünde serbest kalır.

Komutlar ve klavye kısayolları

Görselin hemen altındaki çubuk simülasyonu yönetir: oynat/duraklat, rastgele ya da düzenli başlangıç, ölçümü sıfırlama ve hız. Sıcaklık taraması şekillerin altındaki karttadır; sağ paneldeki "Tavlama" ve "Sayısal" grupları başlıklarına tıklanınca açılır.

Klavye: Boşluk oynat/duraklat · R rastgele · D düzenli · M ölçümü sıfırla · +/− hız · T taramayı başlat/iptal · F tam sayfa · Esc çıkış. Bir sayı kutusu ya da liste odaktayken kısayollar çalışmaz; çubuktaki ⌨ düğmesi listeyi gösterir.

Yöntem

Boltzmann dağılımından örnekleme

1 · Önem örneklemesi

Toplam yerine örnek

Bir gözlenebilirin termal ortalaması

\[ \begin{gathered} \langle O\rangle=\frac1Z\sum_{\{\mathbf S\}}O\,e^{-\beta H}\\ \approx\frac1M\sum_{t=1}^{M}O(\mathbf S_t), \end{gathered} \]

burada \(\mathbf S_t\) konfigürasyonları \(P\propto e^{-\beta H}\) ile seçilir. Düzgün rastgele örnekleme işe yaramaz: önemli konfigürasyonlar faz uzayının üstel olarak küçük bir kesridir.

Hata, sistem boyutundan bağımsız olarak \(M^{-1/2}\) ile azalır; bu yüzden yöntem çok boyutlu toplamlarda güçlüdür. Ancak \(Z\)'nin kendisi (dolayısıyla serbest enerji ve entropi) doğrudan ölçülmez.

2 · Markov zinciri

Detaylı denge

\(\mathbf S\to\mathbf S'\) geçiş olasılığı \(W\) detaylı dengeyi sağlıyor ve zincir ergodikse, durağan dağılım Boltzmann dağılımıdır:

\[ \begin{gathered} P(\mathbf S)\,W(\mathbf S\to\mathbf S')\\ =P(\mathbf S')\,W(\mathbf S'\to\mathbf S). \end{gathered} \]

Metropolis: bir değişiklik önerilir ve \(\min(1,e^{-\beta\Delta E})\) olasılıkla kabul edilir. Isı banyosu: seçilen spin komşularının yerel alanında doğrudan Boltzmann dağılımından yeniden çekilir.

Bir süpürme \(N\) güncelleme denemesidir. Metropolis'te siteler rastgele seçilir. Tümüyle sıralı Metropolis 1D'de, \(\Delta E=0\) hamleleri her zaman kabul edildiği için yanlış dağılıma takılabilir; bu sürümde rastgele site seçimi kullanılır.

3 · Termalleşme

Başlangıcı unutmak

Zincir rastgele ya da düzenli bir durumdan başlar ve dengeye ancak birkaç \(\tau_{\rm exp}\) sonra ulaşır. Bu süredeki örnekler atılır (termalleşme). Parametre değiştiğinde ölçüm kendiliğinden sıfırlanır ve "Termalleşme" kutusundaki süpürme sayısı kadar örnek atılır.

Pratik test: aynı parametrelerle rastgele (sıcak) ve düzenli (soğuk) başlangıçtan iki koşu aynı ortalamaya yakınsamalıdır. Birinci derece geçişlerde ve frustre sistemlerde bu test başarısız olabilir: zincir metastabil bir durumda kalır.

İstatistik

İlişkili örnekler ve hata çubukları

1 · Otokorelasyon

Etkin örnek sayısı

Ardışık Markov örnekleri bağımsız değildir. Ortalamanın varyansı

\[ \begin{gathered} \sigma^2_{\bar O}=\frac{\sigma_O^2}{M}\,2\tau_{\rm int},\\ \tau_{\rm int}=\frac12+\sum_{t\ge1}\rho_O(t). \end{gathered} \]

\(M\) örnek yalnızca \(M/2\tau_{\rm int}\) bağımsız örneğe eşdeğerdir. \(\tau_{\rm int}\) gözlenebilire bağlıdır: \(|m|\) genellikle \(e\)'den yavaştır.

Ölçüm satırındaki \(\tau_{\rm int}\) süpürme birimindedir. Şekil 1'deki otokorelasyon görünümü aynı niceliği doğrudan \(\rho(t)\)'den hesaplar; iki tahminin uyumu ölçümün güvenilirliğinin işaretidir.

2 · Bloklama ve jackknife

Hata nasıl hesaplanır

Seri art arda ikişer ortalanarak bloklanır; blok boyu \(\tau_{\rm int}\)'yi aşınca blok ortalamaları bağımsızlaşır ve hata bir platoya ulaşır. \(\chi\), \(C\) ve \(U\) gibi ortalamaların doğrusal olmayan fonksiyonları için hata 32 bloklu jackknife ile bulunur:

\[ \begin{gathered} \chi=N\beta\big(\langle m^2\rangle-\langle|m|\rangle^2\big),\\ C=N\beta^2\big(\langle e^2\rangle-\langle e\rangle^2\big). \end{gathered} \]

Ölçüm \(\tau_{\rm int}\)'nin birkaç yüz katından kısaysa hem \(\tau_{\rm int}\) hem hata olduğundan küçük çıkar. Kritik noktada Metropolis ile bu durum sık görülür; hata çubuğuna değil, iki bağımsız koşunun uyumuna bakın.

3 · Verim

Adil algoritma karşılaştırması

Algoritmaları süpürme başına \(\tau_{\rm int}\) ile karşılaştırmak yanıltıcıdır; bir Wolff süpürmesi bir Metropolis süpürmesinden pahalıdır. Doğru ölçü saniyede üretilen bağımsız örnek sayısıdır:

\[ \text{verim}=\frac{\text{süpürme/s}}{2\,\tau_{\rm int}}. \]

Kritik noktada \(\tau\sim L^{z}\): 2D Ising'de Metropolis için \(z\simeq2.17\), Swendsen–Wang ve Wolff için \(z\lesssim0.3\). Büyük \(L\)'de fark bu yüzden yüzlerce kata çıkar. Kritik noktadan uzakta yerel algoritmalar daha verimli olabilir.

Küme algoritmaları

Kritik yavaşlamayı kırmak

1 · Fortuin–Kasteleyn

Swendsen–Wang

Ising/Potts bölüşüm fonksiyonu bağ değişkenleriyle yeniden yazılabilir. Her doyurulmuş bağ (FM'de eş spinler)

\[ \begin{gathered} p=1-e^{-2\beta|J|}\ \ (\text{Ising}),\\ p=1-e^{-\beta J}\ \ (\text{Potts}) \end{gathered} \]

olasılıkla açılır. Açık bağlarla bağlı kümelerin her biri bağımsız olarak çevrilir (Potts'ta rastgele bir duruma atanır). Kabul olasılığı 1'dir.

Kümeler fiziksel korelasyonları taşır: \(T_c\)'de süzülme (percolation) eşiğindedir. Bu yüzden büyük ölçekli değişiklikler tek adımda yapılır.

2 · Wolff

Tek küme

Rastgele bir tohum sitesinden tek bir FK kümesi büyütülür ve çevrilir. Büyük kümeler daha sık seçildiği için SW'den biraz daha verimlidir. Ortalama küme boyutu düzensiz fazda süseptibiliteye eşittir: \(\langle|C|\rangle=\chi'/\beta\).

Gizli bir tuzak: "toplam çevrilen site \(N\)'yi geçene kadar küme üret, sonra ölç" kuralı ölçümü son kümenin boyutuyla ilişkilendirir ve ölçülebilir bir yanlılık üretir. Burada süpürme başına küme sayısı termalleşme sırasında belirlenip sabitlenir.

3 · Sürekli spinler

Gömme ve aşırı gevşeme

XY ve Heisenberg'de rastgele bir \(\hat r\) seçilir; \(\mathbf S\to\mathbf S-2(\mathbf S\cdot\hat r)\hat r\) yansıması \(\hat r\cdot\mathbf S\)'nin işaretini çeviren gömülü bir Ising modeli tanımlar:

\[ \begin{gathered} p_{ij}=1-e^{-2\beta J\max(0,\,r_ir_j)},\\ r_i=\hat r\cdot\mathbf S_i. \end{gathered} \]

Anizotropide yalnız \(H\)'yi koruyan yansımalar (\(\hat r\in xy\) ya da \(\hat r=\hat z\)) kullanılabilir. Bunlar \(xy\) düzlemini kendine taşıdığı için zincir ergodik değildir; her süpürmeye bir Metropolis süpürmesi eklenir. Aşırı gevşeme spini yerel alan etrafında yansıtır: \(\mathbf S\to2(\mathbf S\cdot\hat{\mathbf H})\hat{\mathbf H}-\mathbf S\); enerjiyi korur, maliyeti düşüktür, ama tek başına mikrokanoniktir.

Faz geçişi

Sonlu boyut ölçeklemesi ve Binder kümülantı

1 · Ölçekleme

Sonlu sistemde geçiş yoktur

Sonlu \(L\)'de bütün gözlenebilirler analitiktir; tekillikler \(\xi\sim L\) olduğunda yuvarlanır. Kritik noktada

\[ \begin{gathered} \langle|m|\rangle\sim L^{-\beta/\nu},\qquad \chi_{\max}\sim L^{\gamma/\nu},\\ T_c(L)-T_c\sim L^{-1/\nu}. \end{gathered} \]

2D Ising: \(\beta=1/8,\ \gamma=7/4,\ \nu=1\), \(C\) logaritmik ıraksar. 3D Ising: \(\nu\simeq0.630\), \(\gamma\simeq1.237\). \(\chi\) ve \(C\) tepelerinin konumu \(L\) ile kayar; \(T_c\)'yi tek bir \(L\)'den okumak sistematik hata verir.

2 · Binder kümülantı

Kesişim noktası

\(n\) bileşenli düzen parametresi için

\[ U=\frac{n+2}{2}-\frac n2\,\frac{\langle m^4\rangle}{\langle m^2\rangle^2}. \]

Düzenli fazda \(U\to1\), düzensiz fazda (Gauss dalgalanmaları) \(U\to0\). Ölçeklemede boyutsuz olduğundan farklı \(L\) eğrileri \(T_c\)'de, öncü düzeltmelere kadar, tek noktada kesişir.

Ising'de bu, standart \(1-\langle m^4\rangle/3\langle m^2\rangle^2\) tanımının \(3/2\) katıdır; kesişim değeri \(U^*\) evrenseldir ama sınır koşuluna ve en-boy oranına bağlıdır (2D kare Ising: \(U^*\simeq0.916\)). Kesişim yoksa (1D, 2D Heisenberg) uzun-menzil düzen yoktur. Birinci derece geçişte \(U\) negatif bir çukur yapar.

3 · Yeniden ağırlıklandırma

Bir koşudan bir eğri

\(\beta_0\)'da toplanan örnekler yakın bir \(\beta\)'daki ortalamayı da verir (Ferrenberg–Swendsen):

\[ \langle O\rangle_\beta=\frac{\sum_t O_t\,e^{-(\beta-\beta_0)E_t}}{\sum_t e^{-(\beta-\beta_0)E_t}}. \]

Yöntem \(P(E)\) histogramının kuyruklarına dayanır; güvenilir aralık \(|\Delta T|\lesssim T^2/\sqrt{NC}\) mertebesindedir ve \(L\) büyüdükçe daralır. Şekil 2'deki kesikli eğri yalnızca etkin bağımsız örnek sayısı \(N_{\rm eff}=(\sum w)^2/\sum w^2/2\tau\ge30\) olan aralıkta çizilir.

Sürekli simetri

Mermin–Wagner, BKT ve anizotropi

1 · Mermin–Wagner

2D'de sürekli simetri kırılmaz

Kısa menzilli etkileşimli 2D XY ve Heisenberg modellerinde \(T>0\)'da \(\langle\mathbf m\rangle=0\)'dır. Spin dalgası dalgalanmaları \(\int d^2k/k^2\) gibi logaritmik ıraksar.

Sonlu örgüde \(|m|\) sıfırdan farklıdır ve \(L\) ile yavaşça azalır. 2D Heisenberg'de \(\xi\propto e^{2\pi/T}\) düşük \(T\)'de örgüyü kolayca aşar; ekranda "düzenli" görünen durum bir sonlu boyut etkisidir. Binder eğrileri kesişmez.

2 · BKT geçişi

Girdap çiftlerinin çözülmesi

2D XY modelinde düşük \(T\)'de korelasyonlar cebirsel azalır (yarı-uzun-menzil düzen). \(T_{\rm BKT}\simeq0.893\)'te bağlı girdap–karşı girdap çiftleri çözülür ve helisite modülü evrensel bir sıçrama yapar:

\[ \begin{aligned} \Upsilon=&\ \frac1A\Big\langle\sum_{\langle ij\rangle}e_x^2\cos\theta_{ij}\Big\rangle\\ &-\frac{\beta}{A}\Big\langle\Big(\sum_{\langle ij\rangle}e_x\sin\theta_{ij}\Big)^2\Big\rangle, \end{aligned} \] \[ \Upsilon(T_{\rm BKT}^-)=\frac{2T_{\rm BKT}}{\pi}. \]

Sonlu \(L\)'de \(\Upsilon\) sürekli düşer ve \(2T/\pi\) çizgisini \(T_{\rm BKT}\)'nin biraz üstünde keser; düzeltmeler \(1/\ln L\) ile çok yavaş söner. Binder kesişimi BKT için iyi bir ölçüt değildir: eğriler \(T_{\rm BKT}\) altında birleşir.

3 · 3D ve anizotropi

Evrensellik sınıfı \(n\)'ye bağlıdır

3D basit kübik örgüde \(T_c\): Ising \(4.5115\), XY \(2.2018\), Heisenberg \(1.4430\). Heisenberg modelinde etkin anizotropi \(A=(1-\lambda)-K\) düzen parametresinin bileşen sayısını değiştirir:

\[ \begin{gathered} A<0:\ n=1\ \ (\text{kolay eksen}),\\ A>0:\ n=2\ \ (\text{kolay düzlem}). \end{gathered} \]

Küçük anizotropi \(T_c\) yakınında bir geçiş (crossover) yaratır: uzak ölçeklerde \(n=3\), yakında \(n=1\) ya da \(2\) davranışı. 2D'de kolay eksen Ising tipi geçişi, kolay düzlem BKT geçişini geri getirir. Sayfa \(U\)'yu seçilen anizotropiye uygun \(n\) ile hesaplar.

Potts ve frustrasyon

Birinci derece geçiş ve dejenere taban durumu

1 · q-durumlu Potts

Sürekliden birinci dereceye

2D kare örgüde öz-dualite \(T_c=1/\ln(1+\sqrt q)\) verir. \(q\le4\) için geçiş süreklidir (\(q=2\) Ising, \(q=3\): \(\nu=5/6\), \(q=4\): \(\nu=2/3\)), \(q>4\) için birinci derecedir: düzenli ve düzensiz faz \(T_c\)'de bir arada bulunur, \(P(e)\) çift tepelidir ve gizli ısı vardır.

\(q=5\)'te geçiş çok zayıf birinci derecedir; korelasyon uzunluğu \(T_c\)'de \(\sim2500\) örgü sabitidir. Tarayıcıda erişilebilen boyutlarda sürekli bir geçişten ayırt edilemez. Çift tepeyi görmek için \(q\ge8\) seçin.

2 · Frustrasyon

Üçgen örgüde AFM Ising

Bir üçgenin üç bağı aynı anda doyurulamaz. Taban durumunda her üçgende tam bir doyurulmamış bağ vardır: \(e_0=-|J|\), ancak bu durumların sayısı üstel olarak büyüktür. Wannier entropisi

\[ s_0=\lim_{N\to\infty}\frac{\ln\Omega}{N}\simeq0.3383. \]

\(T>0\)'da geçiş yoktur; korelasyonlar \(T\to0\)'da cebirsel olur. Sayfa üç alt örgülü \(\sqrt3\times\sqrt3\) düzen parametresini ve "kusur" olarak üç spini de eşit olan üçgenlerin oranını gösterir. Örgü kenarı 3'ün katı olmalıdır.

3 · Tavlama

Yavaş soğutma ve kusurlar

Benzetilmiş tavlamada \(T\) zamanla düşürülür. Yeterince yavaş soğutulan sistem taban durumuna yaklaşır; hızlı soğutulan sistem domen duvarlarını, girdapları ya da frustre kusurları dondurur. Kalan kusur yoğunluğu soğutma hızıyla azalır.

Küme algoritmaları frustre sistemlerde işe yaramaz: düşük \(T\)'de FK kümeleri bütün örgüyü kaplar ve kusurlar kaldırılamaz. Üçgen AFM'de Wolff'u Metropolis ile karşılaştırın. Bu, algoritmanın doğru ama pratikte donmuş olduğu bir örnektir.

Eleştirel notlar

Sınırlar ve dikkat edilecekler

Hesap sınırları

Simülasyon tümüyle tarayıcıda, sıradan bir dizüstü bilgisayarda çalışacak şekilde ayarlanmıştır. Örgü boyutları buna göre sınırlıdır: 1D \(N\le512\), 2D \(L\le128\) (üçgende 96), 3D \(L\le24\). Büyük sistemde kare başına hesap süresi sınırlandığı için ekrandaki hız düşer; sonuç değişmez, yalnızca bekleme uzar.

Taramalar arayüzü dondurmamak için ayrı bir iş parçacığında (Web Worker) çalışır. Tipik bir sonlu boyut ölçeklemesi (3 boyut × 16 sıcaklık × 4000 süpürme) birkaç dakika sürer. Telefon ve tabletlerde bu süre birkaç katına çıkabilir. Araştırma kalitesinde üs tahmini için çok daha büyük sistem ve ölçüm gerekir.

Kritik yavaşlama ve hata tahmini

\(T_c\) yakınında Metropolis'in korelasyon süresi \(L^{2.17}\) gibi büyür. Ölçüm bu süreye göre kısaysa bloklama platoya ulaşmaz ve hata çubuğu olduğundan küçük görünür. Aynı noktayı iki farklı tohum ya da iki algoritmayla tekrarlamak en güvenilir kontroldür.

Rastgele sayılar ve tekrarlanabilirlik

Üreteç xoshiro128**'dır ve tohumlanabilir. Aynı tohum, aynı parametreler ve aynı süpürme sayısı aynı sonucu verir. Taramada her nokta aynı zincirin devamıdır; noktalar bu yüzden tümüyle bağımsız değildir.

Spin dalgası laboratuvarıyla bağlantı

Stokastik LLG dinamiği ile Monte Carlo aynı kanonik dağılımı örnekler; dinamikleri farklıdır, denge ortalamaları aynıdır. Düşük \(T\)'de 3D izotropik FM için MC \(1-\langle|m|\rangle\simeq0.253\,T\) (Watson integrali) sonucunu vermelidir. Bu, klasik eşbölüşüm sonucudur; kuantum spinlerde Bloch \(T^{3/2}\) yasası geçerlidir.

Sonlu boyut ve \(T_c\)

Tepelerin konumu, eğimin büyüklüğü ve hatta \(|m|\)'nin \(T_c\) üstündeki sıfırdan farkı sonlu boyut etkileridir (\(\langle|m|\rangle\sim N^{-1/2}\)). Literatürdeki \(T_c\) değerleri \(L\to\infty\) ekstrapolasyonlarıdır; tek bir küçük \(L\)'deki tepe onları birkaç yüzde farkla verir.

Kapsam dışında kalanlar

Uzun menzilli (dipolar) etkileşim, düzensizlik (spin camı), DMI ve skyrmion yapıları, Wang–Landau ve paralel tempering bu sürümde yoktur. Birinci derece geçişlerde ve frustre sistemlerde bu yöntemler zinciri metastabil durumlardan kurtarmak için gereklidir.

Kapsam

Modeller ve referans değerler

\(J=1\), \(k_B=1\), \(|\mathbf S|=1\). "Kesin" işaretli değerler analitik, diğerleri yüksek hassasiyetli MC sonuçlarıdır.

Model ve örgü\(T_c\)Görülecek fizik
1D Ising, XY, Heisenbergyok\(\xi\) sonlu; kesin \(e(T)\): \(-\tanh\beta\), \(-I_1(\beta)/I_0(\beta)\), \(-(\coth\beta-T)\)
2D kare Ising\(2/\ln(1+\sqrt2)=2.2692\) (kesin)Onsager \(m(T)\), \(e(T)\); Binder kesişimi; kritik yavaşlama
2D üçgen Ising (FM)\(4/\ln3=3.6410\) (kesin)Aynı evrensellik sınıfı, farklı \(T_c\)
2D üçgen Ising (AFM)yokFrustrasyon, \(s_0=0.3383\), küme algoritmasının donması
3D kübik Ising\(4.5115\)\(\nu\simeq0.630\), \(U^*\simeq0.698\) (bu normalizasyonla)
2D Potts (kare)\(1/\ln(1+\sqrt q)\) (kesin)\(q\le4\) sürekli, \(q>4\) birinci derece; çift tepeli \(P(e)\)
2D XY\(T_{\rm BKT}\simeq0.893\)Girdaplar, helisite sıçraması \(2T/\pi\), Binder kesişiminin yokluğu
3D XY\(2.2018\)\(n=2\) evrensellik sınıfı
2D HeisenbergyokMermin–Wagner, \(\xi\propto e^{2\pi/T}\)
3D Heisenberg\(1.4430\)\(n=3\); \(\lambda\), \(K\) ile \(n=1,2\)'ye geçiş; AFM'de spin-flop