Fiziksel Model ve Hamiltoniyen: Bu simülasyon, kare örgü üzerinde yer alan spinlerin ($S_i \in \{+1, -1\}$) en yakın komşu etkileşimli ve dış manyetik alan altındaki davranışını inceler. Sistemin Hamiltoniyeni şu şekilde tanımlanır:

$$ \mathcal{H} = -J \sum_{\langle i,j \rangle} S_i S_j - B_z \sum_i S_i $$

Burada $J$ değiş-tokuş (exchange) etkileşim sabiti, $\langle i,j \rangle$ en yakın komşu çiftlerini ve $B_z$ z-yönündeki dış manyetik alanı temsil eder. ($k_B = 1$ alınmıştır).

Renk Kodlaması: Manyetik konfigürasyon görselinde spin durumları şu şekilde renklendirilmiştir:

• Koyu Mavi: Spin Yukarı ($S_i = +1$)
• Kırmızı: Spin Aşağı ($S_i = -1$)

Monte Carlo (Metropolis) Güncellemesi: Simülasyon, termodinamik dengeye ulaşmak için Metropolis-Hastings algoritmasını kullanır. Her bir deneme adımında:

1. Rastgele bir spin seçilir ve ters çevrilmesi durumunda oluşacak enerji farkı ($\Delta E$) hesaplanır.
2. Eğer $\Delta E \le 0$ ise hamle doğrudan kabul edilir (sistem daha düşük veya eşit bir enerji durumuna geçer).
3. Eğer $\Delta E > 0$ ise, hamle $P = e^{-\Delta E / T}$ Boltzmann olasılığı ile kabul edilir. Bu adım, sistemin termal dalgalanmalar sayesinde yerel minimumlardan çıkabilmesini sağlar ve detaylı denge (detailed balance) prensibini korur.

Gözlemlenebilirler (Observables) ve Dalgalanmalar:

Sistem termodinamik dengeye oturduktan sonra (yeterli sayıda adımdan sonra), spin başına düşen manyetizasyon $m$ ve enerji $E$ ortalamaları üzerinden sistemin alınganlık ($\chi$) ve özgül ısı ($C_v$) değerleri varyans (dalgalanma) teoremleri ile hesaplanır. $N$ toplam spin sayısı olmak üzere ($N=100\times 100$):

• Manyetizasyon: $$ m = \frac{1}{N} \langle \sum_i S_i \rangle $$
• Özgül Isı: $$ C_v = \frac{N}{T^2} (\langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2) $$
• Manyetik Alınganlık: $$ \chi = \frac{N}{T} (\langle m^2 \rangle - \langle m \rangle^2) $$

Buradaki grafiklerde termodinamik niceliklerin yukarıda tanımlanan ortalamaları değil, zaman serisi verilmektedir.

Parametre Değişimleri ve Termodinamik Hafıza: Arayüzdeki sıcaklık (T) veya manyetik alan (Bz) değerleri değiştirildiğinde, simülasyon baştan (rastgele bir spin konfigürasyonu ile) başlamaz. Sistem, o an sahip olduğu mikro-durumu başlangıç koşulu olarak kabul ederek yeni parametreler altında evrimine devam eder. Bu durum, istatistiksel fizikte sistemin yavaş yavaş soğutulduğu tavlama (simulated annealing) veya ani sıcaklık düşüşlerine maruz bırakıldığı ani soğutma (thermal quench) süreçlerinin incelenmesine olanak tanır. Farklı termodinamik denge durumlarına ait verilerin birbirine karışmasını ve varyans hesaplarını bozmasını engellemek amacıyla, her parametre değişiminde istatistiksel ortalama havuzu ve grafikler otomatik olarak sıfırlanır.