Fiziksel Model ve Hamiltoniyen: 3B dış manyetik alan $\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)$ ve sürekli spin vektörleri $|\mathbf{S}_i| = 1$ ile sistemin Hamiltoniyeni şu şekilde tanımlanır:
$$ \mathcal{H} = -J \sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j - \sum_i \mathbf{B} \cdot \mathbf{S}_i $$
Monte Carlo Güncelleme Algoritması ve Marsaglia Örneklemesi: Simülasyon Metropolis-Hastings algoritmasını kullanır. Her deneme (trial) adımında, birim küre üzerinde düzgün (uniform) rastgele sürekli bir spin üretilmelidir. Görece yüksek hesaplama zamanı gerektiren trigonometrik fonksiyonlara dayanmadan yüksek hesaplama verimliliği elde etmek için algoritma Marsaglia'nın reddetme (rejection) yöntemini (1972) kullanır. İki rastgele değişken $u, v \in [-1, 1]$, $s = u^2 + v^2 < 1$ koşulu sağlanana kadar çekilir. Deneme spini bileşenleri daha sonra şu şekilde hesaplanır:
$$ S_x = 2u\sqrt{1-s}, \quad S_y = 2v\sqrt{1-s}, \quad S_z = 1-2s $$
Görselleştirme ve Renk Kodlaması: Örgü projeksiyonu, 3B spin vektörlerini 2B düzleme yansıtır:
Termodinamik Hafıza: Simülasyon sırasında sıcaklık veya manyetik alan parametrelerinin değiştirilmesi, örgüyü rastgele bir konfigürasyona sıfırlamaz. Sistem mevcut mikro-durumunu korur ve yeni koşullar altında termodinamik evrimine devam eder. Bu özellik, ani soğutma (thermal quench) veya tavlama (simulated annealing) süreçlerinin doğrudan simüle edilmesini sağlar. Ancak, farklı denge durumları arasındaki geçişin yaratacağı karmaşayı önlemek için, herhangi bir parametre değişikliğinde manyetizasyon dizileri ve görselleştirme grafikleri otomatik olarak temizlenir.
Güncelleme Sıklığı (MCS/kare): Monte Carlo simülasyonlarında zaman kesin olarak Monte Carlo Süpürmesi (MCS) ile ölçülür; burada bir MCS, $N$ adet bağımsız deneme spin güncellemesine karşılık gelir. Tarayıcının görselleştirme süreci (binlerce vektörün çizilmesi) ciddi bir hesaplama darboğazı yaratır. Bu parametre, fiziksel Markov zinciri evrimini görsel çizim (render) hızından açıkça ayırır. Daha yüksek bir değer (örneğin 50), sistemi faz uzayında hızla iterek ardışık görsel kareler arasındaki otokorelasyonu etkili bir şekilde en aza indirir ve termodinamik dengeye yakınsamayı hızlandırır. Tersine, 1 değeri Markov zincirindeki yüksek derecede korele, bitişik mikro-durumları görselleştirir.
Mermin-Wagner Teoremi ve Sonlu Boyut Etkileri: Sıfır dış alanda ($\mathbf{B} = 0$) kısa erimli etkileşimlere sahip izotropik bir 2B Heisenberg modeli için Mermin-Wagner teoremi, sürekli dönme simetrisinin sonlu herhangi bir sıcaklıkta ($T > 0$) kırılamayacağını belirtir. Sonuç olarak, termodinamik limitte ($N \to \infty$) sistem uzun erimli ferromanyetik düzeni sürdüremez ve manyetizasyonun beklenen değeri sıfırdır. Bu spesifik simülasyonda düşük sıcaklıklarda gözlemlenen herhangi bir görünür makroskopik düzenlenme veya sıfırdan farklı manyetizasyon, bir sonlu boyut etkisidir (finite-size effect). Bu durum, manyetik korelasyon uzunluğunun simüle edilen örgünün sınırlı uzaysal boyutlarını ($L=30$) aşması ve sistemi sanki düzenli (pseudo-ordered) bir duruma hapsetmesi nedeniyle meydana gelir.
Gözlemlenebilirler (Observables): Çizgi grafiği, küresel manyetizasyon bileşenlerinin zaman evrimini (Monte Carlo adımı cinsinden) izler:
$$ M_{\alpha} = \frac{1}{N} \sum_i S_i^{\alpha}, \quad \alpha \in \{x, y, z\} $$